·【蓝桥】·垒骰子

蓝桥杯真题中一道动态规划的好题目~

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题目描述
垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦～
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。
「样例输入」
2 1
1 2
「样例输出」
544
「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

题目描述

  1. 将n个骰子垒起来，其中有m组互斥情况，求垒骰子的方式有多少种
  2. 由输入样例可知，544 = 4* 4（6+6+6+6+5+5）；
    即1、2互斥，以1和2朝向的数字都有5个，另外每个骰子都可以四个方向水平旋转，两个骰子便是4     4
  3. 推广到n个骰子，旋转可以单独计算，即 4^n；
    发现每一层不同数字朝向的数字个数取决于上一层，如输入样例拓展到第三层，
    1朝向数字个数 = 6+6+6+5+5（上一层的2互斥，2的对面是5）、
    2朝向的数字个数 = 6+6+6+5+5（上一层的1互斥，1的对面是6）、
    3朝向的数字个数 = 6+6+6+6+5+5

算法思想

  • 动态规划的思想孕育而生：
    ①重叠子问题：每一层不同数字的朝向的数字个数由上一层决定
    ②最优子结构：从第1层推导到第n层，局部最优可构造全局最优
  • dp[i][j]表示前i层数字j朝向的数字个数;
    op[]记录骰子中数字的对面；
    confict[][]记录互斥的情况，true表示互斥
    $$dp[i][j] = \sum_{k=1}^{6}{dp[i-1][k]}(前提：confict[op[j]][k]!=true)$$
  • 数组大小需要dp[n][7]，考虑每一层是由上一层递推而来，空间可节省到dp[2][7]

——————————————完整代码————————————————

1
2
3
4
5
6
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59
60
61
62
63
64
65
66
/*

*/
#include <iostream>

using namespace std;
/*
dp[i][j] = 求和dp[i-1][j](j = 1,2,3,4,56)
*/ 
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9+7;
int n, m;
int op[7], dp[2][7];//对面的数字计入数组op[], dp递推式 
bool confict[7][7]; //记录互斥状态 
ll pow(int x, int n){//求x^n 
	ll ans = 1;
	while(n){
		if(n&1)
			ans = ans*x%MOD;
		x = x*x%MOD;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
void init(){//初始化
	op[1] = 4;
	op[4] = 1;
	op[2] = 5;
	op[5] = 2;
	op[3] = 6;
	op[6] = 3;
	for(int i = 1; i <= 6; ++i){
		dp[0][i] = 1;
	}
}
int main(){
	init();
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 0; i < m; ++i){
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		confict[x][y] = true;
		confict[y][x] = true;
	}
	int lev = 0;
	for(int i = 2; i <= n; ++i){
		lev = 1 - lev;//0变为1，1变为0
		for(int j = 1; j <= 6; ++j){
			dp[lev][j] = 0;
			for(int k = 1; k <= 6; ++k){
				if(confict[op[j]][k])
					continue;
				dp[lev][j] = (dp[lev][j] + dp[1-lev][k]) % MOD;
			}
			//cout << dp[lev][j] << " ";
		}
		//cout << endl;
	}
	ll sum = 0;
	//cout << sum << endl;
	for(int i = 1; i <= 6; ++i){
		sum = (sum+dp[lev][i]) % MOD;
	}
	printf("%lld", sum*pow(4, n)%MOD);
	return 0;
}